Demonstração utilizando a semelhança de triângulos

A demonstração pela semelhança de triângulos é a mais utilizada no ensino de geometria e em livros didáticos. Por isso, antes da apresentação da demonstração vamos conhecer o triângulo e o conceito de semelhança de triângulos.

Definição: dados três pontos distintos e não colineares A, B e C, o triângulo com vértices A, B e C é a reunião dos segmentos cujos extremos são esses três pontos.

Denotaremos:

Os segmentos são chamados os lados do triângulo.

Denotaremos  os ângulos correspondentes aos vértices A, B e C, respectivamente. Temos, portanto, associados a um triângulo, três segmentos e três ângulos.

Os triângulos têm denominações especiais se consideramos os comprimentos de seus lados. Se todos os lados de um triângulo são congruentes, o triângulo é chamado equilátero; se dois dos lados são congruentes, o triângulo é chamado isósceles, e se os três lados têm comprimentos distintos, o triângulo é chamado escaleno. 

Os triângulos também têm denominações especiais se consideramos as medidas dos seus ângulos. Se todos os ângulos de um triângulo são congruentes, o triângulo é chamado equiângulo; se todos os seus ângulos são agudos, temos um triângulo acutângulo, se um de seus ângulos é obtuso, o triângulo é obtusângulo e o triângulo retângulo tem um ângulo reto. 

No triângulo retângulo, os lados têm denominações especiais: a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto, e os catetos são os lados adjacentes a ele.

Condição de existência de um triângulo

Para construir um triângulo não podemos utilizar qualquer medida, tem que seguir a condição de existência:
Para construir um triângulo é necessário que a medida de qualquer um dos lados seja menor que a soma das medidas dos outros dois e maior que o valor absoluto da diferença entre essas medidas.

| b - c | < a < b + c
| a - c | < b < a + c
| a - b | < c < a + b

12 – 9 < 15 < 12 + 9
15 – 9 < 12 < 15 + 9
15 – 12 < 9 < 15 + 12