ALGUMAS DEMONSTRAÇÕES DO TEOREMA DE PITÁGORAS ( I )

Teorema de Pitágoras por Euclides - "ELEMENTOS"

A demonstração ora exposta é verificada nos Elementos de Euclides (http://livros01.livrosgratis.com.br/be00001a.pdf) utilizada para somar áreas no contexto da geometria grega.

Na Ilustração abaixo, temos a área do quadrado grande igual à soma das áreas dos quadrados pequenos. Trata-se da famosa igualdade  

.

Figura 1

É possível remontar retroativamente da proposição I-45 às construções dos postulados 1 e 2. Os procedimentos necessários para a construção demandada em I-45 são: ligar pontos a retas dadas, estender retas, cortar segmentos em partes iguais a segmentos dados, bissetar retas, erigir perpendiculares e, finalmente, copiar ângulos. Isso nos permite afirmar que muitas das proposições enunciadas antes da I-45 têm o papel de fornecer as ferramentas necessárias à construção pedida em seu enunciado.

O objetivo de diversos outros resultados do livro I seria, portanto, permitir a construção requerida em I-45 por meio de outras mais simples, o que caracteriza um procedimento típico dos Elementos. Se um postulado foi usado para demonstrar um teorema (ou para efetuar uma construção), esse teorema (ou essa construção) se torna uma verdade disponível para a demonstração de novos teoremas (ou para a realização de novas construções). Cada resultado constitui a base para o aprendizado de novos resultados. Os primeiros princípios servem, portanto, à demonstração dos primeiros resultados, que, em seguida, efetuarão o papel de premissas para novas demonstrações. O encadeamento dedutivo das proposições pode ser compreendido, assim, como a busca de uma espécie de economia na argumentação.

Demonstração e papel do teorema “de Pitágoras”

Daremos mais um exemplo de como as proposições do livro I são encadeadas para chegar a uma demonstração do teorema que conhecemos como sendo de Pitágoras. Euclides jamais emprega essa nomenclatura, nem atribui o teorema a Pitágoras ou a quem quer que seja. Se foi Euclides ou não o autor da prova que transcreveremos aqui, também é uma questão controversa. Proclus afirma que essa demonstração seria a única contribuição do próprio Euclides aos primeiros livros dos Elementos. Mas tal afirmação é discutível, pois a prova que encontramos aqui se encaixa perfeitamente na tradição geométrica que marcou o período anterior a Euclides e que continha o chamado “cálculo de áreas”, ou seja, práticas geométricas que envolviam aplicação de áreas, busca de equivalências de áreas e operações com áreas.

Seguiremos o encadeamento de Euclides enumerando as proposições que serão usadas na demonstração da proposição I-47. Essa proposição, cujo conteúdo é exatamente o do teorema que chamamos “de Pitágoras”, juntamente com sua recíproca, encerra o livro I dos Elementos. As outras proposições desse livro podem ser vistas como etapas para a demonstração da I-47. Sendo assim, temos mais uma evidência de que o objetivo do encadeamento dedutivo das proposições era enunciar, de modo ordenado, os resultados necessários à demonstração de outros enunciados importantes. As proposições já demonstradas servem como verdades intermediárias para a demonstração das posteriores, sem que seja necessário recorrer aos primeiros princípios.

Vamos começar por uma proposição que enuncia o caso de congruência de triângulos conhecido como LAL (lado-ângulo-lado). Ou seja, se dois triângulos têm dois lados iguais e os ângulos formados por eles também iguais, então os triângulos são congruentes. O uso do termo “congruente” é bem mais recente e tem como objetivo resolver uma inconsistência lógica colocada pela formalização posterior da geometria euclidiana. Na lógica, o princípio da identidade afirma que uma coisa só é igual a si mesma. Portanto, dois triângulos ou duas figuras geométricas quaisquer não podem ser iguais. Daí o emprego do termo “congruente”, que significa, intuitivamente, que duas figuras podem ser colocadas uma em cima da outra. Usaremos a linguagem de Euclides, logo, diremos também que duas figuras geométricas são iguais quando são congruentes ou quando possuem somente áreas iguais.

Proposição I-4

Se dois triângulos tiverem, respectivamente, dois lados iguais a dois lados e se os ângulos compreendidos por esses lados forem também iguais, as bases serão iguais, os triângulos serão iguais e os demais ângulos que são opostos a lados iguais serão também iguais.

Traduzindo: se AB = DE, BC = EF e  , então ABC é igual a DEF, como vemos na Ilustração abaixo.

Figura 2

Proposição I-38

Os triângulos que estão sobre bases iguais e nas mesmas paralelas são iguais entre si.

                                                            Figura 3

Traduzindo: se dois triângulos ABC e DBC possuem a mesma base e o terceiro vértice em uma paralela à base, então eles têm áreas iguais. Atualmente, dizemos que dois triângulos têm áreas iguais se possuem a mesma base e a mesma altura, uma vez que a área é calculada pela fórmula (base × altura) / 2.Como tratamos aqui de uma tradição geométrica que não associava grandezas a números, não se mediam a base e a altura para calcular a área. A proposição I-38 procura dizer em que casos duas áreas são equivalentes sem que seja preciso calculá-las. Ora, se o terceiro vértice de dois triângulos está em uma paralela à base, eles possuem as mesmas alturas. Como é dado que as bases são iguais, eles têm também a mesma área. As duas últimas proposições do livro I são justamente o resultado conhecido como teorema “de Pitágoras” e o seu recíproco.

Proposição I-47

Nos triângulos retângulos, o quadrado sobre o lado que se estende sob o ângulo reto é igual aos quadrados sobre os lados que contêm o ângulo reto.

Figura 4

Demonstração: Seja o triângulo retângulo ABC, com ângulo reto BAC. Queremos mostrar que a área do quadrado construído sobre o lado BC é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os lados AB e AC, que formam o ângulo reto BAC. Vamos ilustrar a demonstração com figuras que não foram usadas por Euclides, mas manteremos o espírito de sua prova. Descrevemos sobre cada lado um quadrado e vamos mostrar que a área do quadrado construído sobre o lado BC pode ser obtida pela soma de dois retângulos, um deles com área igual à do quadrado construído sobre AB (em cor branca na figura 5) e o outro com área igual à do quadrado construído sobre AC (de cor cinza).

Figura 5

O quadrado BDEC é construído sobre BC e os quadrados ABFG e ACIH, respectivamente, sobre AB e AC. Em seguida, traçamos a partir do ponto A uma reta AL, paralela a BD, e traçamos também duas retas AD e CF, formando novos triângulos ABD e CBF, como na Ilustração abaixo.

Figura 6

Queremos mostrar que esses triângulos (em cinza-escuro na Ilustração) são iguais.

Figura 7

O lado AB de ABD é igual ao lado FB de CBF, por construção. O mesmo vale para os lados BD e BC. Logo, para os triângulos serem congruentes, basta mostrar que os ângulos ABD e CBF são iguais, pois pela proposição I-4 basta os triângulos terem dois lados e o ângulo formado por esses lados iguais. Os ângulos DBC e FBA, por serem retos, são iguais. Adicionando o mesmo ângulo ABC a ambos, o total ABD será igual ao total CBF. Então, temos que o triângulo ABD é igual ao triângulo CBF.

Queremos mostrar que a área do quadrado ABFG é igual à do retângulo BDLK. Os próximos passos para concluir essa demonstração são os seguintes:

1.   Mostrar que a área do triângulo ABF, que é metade do quadrado ABFG, é igual à área do triângulo DBK, que é metade da do retângulo BDLK (como vemos na figura 8).

2.   Para isso, mostraremos que a área de ABF é igual à de CBF e que a área de DBK é igual à de ABD.

3.   Como já mostramos que a área de ABD e de CBF são iguais, concluiremos que a área de ABF é igual à área de DBK, assim, a área do quadrado ABFG será igual à do retângulo
BDLK.

Figura 8

Como os ângulos BAC e BAG são retos, os segmentos CA e AG estão sobre uma mesma reta. Como essa reta é paralela a BF, temos que CBF e ABF são triângulos de mesma base com o terceiro vértice em uma paralela a essa base. Logo, pela proposição I-38, eles possuem a mesma área. De modo análogo, como AL foi construída paralelamente a BD, temos que ABD e DBK são triângulos de mesma base com terceiro vértice em uma paralela à base, sendo assim, possuem a mesma área. Esse parágrafo, juntamente com o anterior, conclui a etapa 2.

 Utilizando um raciocínio análogo, poderíamos demonstrar que o retângulo CKLE é igual ao quadrado ACIH. Dessa forma, o quadrado inteiro BDEC construído sobre o lado BC, oposto ao ângulo reto BAC, é igual à soma dos dois quadrados ABFG e ACIH, construídos, respectivamente, sobre os lados AB e AC, que formam o ângulo reto. Isso conclui a demonstração. Notamos, em primeiro lugar, que não foi usado aqui nenhum resultado de razões e proporções. Hoje, é comum encontrarmos demonstrações do teorema “de Pitágoras” que usam semelhanças de triângulos expressas por meio de proporções. Por que Euclides não empregou uma argumentação desse tipo? Poderíamos responder:

(i) Porque não conhecia os resultados sobre semelhança de triângulos e não possuía as noções de razão e proporção.

Essa explicação é historicamente inadequada, pois há registros anteriores a Euclides em que essas noções são usadas.

(ii) Porque quis evitar esse uso, uma vez que as antigas noções de razão e proporção tinham sido colocadas em questão com a descoberta dos incomensuráveis.

Essa é uma resposta plausível, mas poderíamos perguntar por que, nesse caso, Euclides não adiou a demonstração do teorema “de Pitágoras” para depois do livro V, quando é exposta uma teoria de razões e proporções que vale para quaisquer grandezas. Na verdade, encontramos uma nova demonstração, por meio de razões e proporções, na proposição 31 do livro VI.

(iii) No contexto da geometria que Euclides quis expor nos primeiros livros dos Elementos, o teorema que chamamos “de Pitágoras” fazia parte de uma cultura matemática que tinha como prática o que podemos nomear de “cálculo de áreas”.  Isso envolve resultados sobre aplicação de áreas, equivalência de áreas e soma de áreas.
A demonstração que acabamos de fornecer interpreta o teorema “de Pitágoras” como uma relação entre propriedades dos quadrados erigidos sobre os lados de um triângulo retângulo, e não como uma relação métrica entre esses lados. Sendo assim, a demonstração usa somente resultados envolvendo a equivalência de áreas e suas somas.

Referência:

Roque, Tatiana – História da Matemática: uma visão crítica, desafiando mitos e lendas – Rio de Janeiro: Zahar, 2012.